$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+\sin x)}{\sin x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+\sin x)}{\sin x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x = t$ と置換すると、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となる。

したがって、求める極限は、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1+t)}{t}$

となる。ここで、$\log_e(1+t)$ の $t=0$ におけるテイラー展開を考えると、

$\log_e(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$

なので、

$\frac{\log_e(1+t)}{t} = 1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \cdots$

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} (1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \cdots) = 1$

あるいは、ロピタルの定理を使うこともできる。$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+\sin x)}{\sin x}$ において、分子も分母も $x \to 0$ のとき $0$ に収束するので、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+\sin x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1+\sin x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+\sin x} = \frac{1}{1+0} = 1$

3. 最終的な答え

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