極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理し、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の性質を利用して極限を計算します。

まず、分子と分母を $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^2 x}{x} + \frac{\sin x}{x}}{x + 1}$$

次に、$\frac{\sin^2 x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \sin x$ と変形します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} \cdot \sin x + \frac{\sin x}{x}}{x + 1}$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ を用いると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} \cdot \sin x + \frac{\sin x}{x}}{x + 1} = \frac{1 \cdot 0 + 1}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$

3. 最終的な答え

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