$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は、$e$ の定義に関連する形に変形することで計算できます。$y = \frac{x}{2}$ と置くと、$x = 2y$ となります。$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ なので、元の式は次のように書き換えられます。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 - \frac{1}{y})^{2y}$

指数法則を使うと、

$\lim_{y \to \infty} (1 - \frac{1}{y})^{2y} = \lim_{y \to \infty} ((1 - \frac{1}{y})^y)^2$

ここで、$\lim_{y \to \infty} (1 - \frac{1}{y})^y = e^{-1}$ という公式を使います。

したがって、

$\lim_{y \to \infty} ((1 - \frac{1}{y})^y)^2 = (e^{-1})^2 = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$e^{-2}$