次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、与えられた式は次のように変形できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x}$

ここで、$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{3}{1} = 3$

3. 最終的な答え

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