与えられた微分方程式の解を級数の形で求める問題です。 1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1, \quad (x = 0, y = 0)$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の解を級数の形で求める問題です。

1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1, \quad (x = 0, y = 0)$

2. $\frac{dy}{dx} = 2xy + x, \quad (x = 0, y = 1)$

2. 解き方の手順

1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1, \quad (x = 0, y = 0)$

級数解を $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と仮定します。

$\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ となります。

与えられた微分方程式に代入すると、

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} + 1$

$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n} + 1$

$a_1 + \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n} + 1$

定数項を比較すると、$a_1 = 1$。

$x^n$ の係数を比較すると、$(n+1) a_{n+1} = a_{n-1}$。

したがって、$a_{n+1} = \frac{a_{n-1}}{n+1}$ が得られます。

初期条件 $x = 0, y = 0$ より、$y(0) = a_0 = 0$ が得られます。

$a_1 = 1, a_0 = 0$ から、$a_2 = \frac{a_0}{2} = 0, a_3 = \frac{a_1}{3} = \frac{1}{3}, a_4 = \frac{a_2}{4} = 0, a_5 = \frac{a_3}{5} = \frac{1}{15}$ となります。

したがって、$y = x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{15} x^5 + ...$

2. $\frac{dy}{dx} = 2xy + x, \quad (x = 0, y = 1)$

$\frac{dy}{dx} = x(2y + 1)$

変数分離を行うと、$\frac{dy}{2y+1} = x dx$。

両辺を積分すると、$\int \frac{dy}{2y+1} = \int x dx$。

$\frac{1}{2} \ln |2y+1| = \frac{1}{2} x^2 + C$

$\ln |2y+1| = x^2 + 2C$

$|2y+1| = e^{x^2 + 2C} = e^{2C} e^{x^2} = A e^{x^2}$

$2y + 1 = A e^{x^2}$

$y = \frac{A e^{x^2} - 1}{2}$

初期条件 $x = 0, y = 1$ より、$1 = \frac{A e^{0} - 1}{2} = \frac{A-1}{2}$。

$2 = A - 1$ より、$A = 3$。

$y = \frac{3 e^{x^2} - 1}{2}$

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + ...$

$y = \frac{3 (1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + ...) - 1}{2} = \frac{2 + 3x^2 + \frac{3x^4}{2} + \frac{x^6}{2} + ...}{2} = 1 + \frac{3}{2} x^2 + \frac{3}{4} x^4 + \frac{1}{4} x^6 + ...$

3. 最終的な答え

4. $y = x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{15} x^5 + ...$

5. $y = 1 + \frac{3}{2} x^2 + \frac{3}{4} x^4 + \frac{1}{4} x^6 + ...$