関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使う必要があります。商の微分公式は次のとおりです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = e^x$ 、$v = \sin x$ とします。

まず、$u$ と $v$ をそれぞれ微分します。

$u' = (e^x)' = e^x$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

次に、商の微分公式に当てはめます。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{(\sin x)^2}$

$e^x$で括ると

$y' = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$