関数 $y = \frac{\log(x^2 + x)}{\log(x + 1)}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x^2 + x)}{\log(x + 1)}$ を微分する。

2. 解き方の手順

$y = \frac{\log(x^2 + x)}{\log(x + 1)}$ を微分するには、商の微分公式を用いる。

商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、$\frac{d}{dx} \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ で与えられる。

この問題では、$u(x) = \log(x^2 + x)$ および $v(x) = \log(x + 1)$ とする。

まず、$u'(x)$ と $v'(x)$ を計算する。

$u'(x) = \frac{d}{dx} \log(x^2 + x) = \frac{1}{x^2 + x} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}$

$v'(x) = \frac{d}{dx} \log(x + 1) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x + 1) = \frac{1}{x + 1}$

商の微分公式にこれらの値を代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2x + 1}{x(x + 1)} \log(x + 1) - \frac{\log(x^2 + x)}{x + 1}}{[\log(x + 1)]^2}$

ここで、$x^2 + x = x(x + 1)$ であるから $\log(x^2 + x) = \log(x(x + 1)) = \log(x) + \log(x + 1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2x + 1}{x(x + 1)} \log(x + 1) - \frac{\log(x) + \log(x + 1)}{x + 1}}{[\log(x + 1)]^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{(2x + 1) \log(x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{x(\log(x) + \log(x + 1))}{x(x + 1)}}{[\log(x + 1)]^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 1) \log(x + 1) - x(\log(x) + \log(x + 1))}{x(x + 1)[\log(x + 1)]^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 1) \log(x + 1) - x\log(x) - x\log(x + 1)}{x(x + 1)[\log(x + 1)]^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x + 1) \log(x + 1) - x\log(x)}{x(x + 1)[\log(x + 1)]^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x + 1) \log(x + 1) - x\log(x)}{x(x + 1)[\log(x + 1)]^2}$