関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数の形をしているので、合成関数の微分法（チェーンルール）を使います。

$y = \sqrt{u}$ と $u = 1 + \sin x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

まず、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

次に、$u = 1 + \sin x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$