関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いて微分します。

ここで、$u = x$ 、 $v = \cos 2x$ とおきます。

まず、$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$ です。

次に、$v' = \frac{d}{dx}(\cos 2x)$ を計算します。

$\cos 2x$ の微分には合成関数の微分法を使います。$2x$ を $t$ とおくと、 $\frac{d}{dx} (\cos 2x) = \frac{d}{dt}(\cos t) \cdot \frac{dt}{dx} = -\sin t \cdot 2 = -2 \sin 2x$となります。

したがって、$v' = -2 \sin 2x$ です。

これらの結果を積の微分公式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (x)' (\cos 2x) + (x) (\cos 2x)' = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2 \sin 2x) = \cos 2x - 2x \sin 2x$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos 2x - 2x \sin 2x$