関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を用います。

商の微分公式は、

$\qquad (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

です。

ここで、$u = \log x$、$v = x^2$ とおくと、$u' = \frac{1}{x}$、$v' = 2x$ となります。

したがって、

$\qquad y' = \frac{(\log x)' \cdot x^2 - \log x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$

$\qquad y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{x^4}$

$\qquad y' = \frac{x - 2x \log x}{x^4}$

$\qquad y' = \frac{x(1 - 2\log x)}{x^4}$

$\qquad y' = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$