関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = \sin x$ と $v = \cos 2x$ とすると、

$u' = \cos x$

$v' = -2\sin 2x$ (合成関数の微分)

したがって、

$y' = (\sin x \cos 2x)' = (\sin x)' \cos 2x + \sin x (\cos 2x)'$

$y' = \cos x \cos 2x + \sin x (-2\sin 2x)$

$y' = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$

倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると、

$y' = \cos x \cos 2x - 2\sin x (2\sin x \cos x)$

$y' = \cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$

$y' = \cos x (\cos 2x - 4\sin^2 x)$

さらに倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$y' = \cos x (1 - 2\sin^2 x - 4\sin^2 x)$

$y' = \cos x (1 - 6\sin^2 x)$

3. 最終的な答え

$\cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$または$\cos x (1 - 6\sin^2 x)$