$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、連鎖律（chain rule）を適用します。

まず、$y = u^3$, $u = \cos v$, $v = 2x$ と置きます。

すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

となります。

各微分を計算します。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = -\sin v$

$\frac{dv}{dx} = 2$

これらの微分を元の式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-\sin v) \cdot 2 = -6 u^2 \sin v$

$u = \cos 2x$ と $v = 2x$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = -6 (\cos 2x)^2 \sin (2x) = -6 \cos^2 2x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -6 \cos^2 2x \sin 2x$