関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を使います。$u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ とおくと、$y = \log(u)$ となります。

$y$ を $x$ で微分するには、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = \log(u)$ なので、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})$

$= 1 + \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})$

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})$ を計算するために、さらに合成関数の微分法を使います。$v = x^2 + 1$ とおくと、$\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{v}$ となります。

$\frac{d}{dx}(\sqrt{v}) = \frac{d}{dv}(\sqrt{v}) \cdot \frac{dv}{dx}$

$= \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$

$= \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x$

$= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

したがって、

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$= \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

最後に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$