関数 $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を $x$ について微分し、$y'$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を $x$ について微分し、$y'$ を求める。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、商の微分公式を使用します。商の微分公式は次のとおりです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = \sin x$、$v = \sin x + \cos x$ とします。

$u$ の微分は $u' = \cos x$ です。

$v$ の微分は $v' = \cos x - \sin x$ です。

これらの値を商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(\cos x)(\sin x + \cos x) - (\sin x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

分子を展開します。

$y' = \frac{\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin x \cos x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

分子を整理します。$\sin x \cos x$ と $-\sin x \cos x$ は相殺されます。また、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ です。

$y' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$