関数 $y = \frac{1}{(3x+2)^3}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(3x+2)^3}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を指数を使って書き換えます。

$y = (3x+2)^{-3}$

次に、合成関数の微分法を使います。

合成関数の微分法とは、$y = f(g(x))$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$

となる法則です。

この問題の場合、$f(u) = u^{-3}$ と $g(x) = 3x+2$ とおくと、$y = f(g(x))$ となります。

$\frac{df}{du} = -3u^{-4}$

$\frac{dg}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -3(3x+2)^{-4} \cdot 3$

$\frac{dy}{dx} = -9(3x+2)^{-4}$

指数を正に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-9}{(3x+2)^{4}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-9}{(3x+2)^{4}}$