関数 $y = (x^2+1)5^{x^3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2+1)5^{x^3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = (x^2+1)5^{x^3}$ の導関数を求めるために、積の微分法則と合成関数の微分法則（連鎖律）を利用します。

まず、$u(x) = x^2+1$、$v(x) = 5^{x^3}$ とおくと、$y = u(x)v(x)$ となります。積の微分法則より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}v(x) + u(x)\frac{dv}{dx}$

次に、$\frac{du}{dx}$ と $\frac{dv}{dx}$ を求めます。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(5^{x^3})$ を求めるには、合成関数の微分法則を使います。

$w(x) = x^3$ とおくと、$v(x) = 5^{w(x)}$ となります。

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(5^{w(x)}) = 5^{w(x)}\ln(5) \cdot \frac{dw}{dx}$

$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

したがって、

$\frac{dv}{dx} = 5^{x^3} \ln(5) \cdot 3x^2 = 3x^2 \ln(5) 5^{x^3}$

これらの結果を $\frac{dy}{dx}$ の式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2+1) \cdot 3x^2 \ln(5) 5^{x^3}$

$\frac{dy}{dx} = 5^{x^3} (2x + 3x^2(x^2+1)\ln(5))$

$\frac{dy}{dx} = 5^{x^3} (2x + 3x^4\ln(5) + 3x^2\ln(5))$

$\frac{dy}{dx} = x5^{x^3} (2 + 3x^3\ln(5) + 3x\ln(5))$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x5^{x^3}(3x^3\ln(5) + 3x\ln(5) + 2)$

あるいは

$\frac{dy}{dx} = 5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2+1)\ln(5))$