関数 $y = \log(1 + \frac{1}{x})$ ($x>0$)を微分せよ。ここで、logは自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(1 + \frac{1}{x})$ ($x>0$)を微分せよ。ここで、logは自然対数とする。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行う。まず、$u = 1 + \frac{1}{x}$ とおくと、$y = \log(u)$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$であるから、それぞれの微分を計算する。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \log(u) = \frac{1}{u}$

$u = 1 + \frac{1}{x} = 1 + x^{-1}$ より

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1 + x^{-1}) = 0 + (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x+1} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{x}{x^2(x+1)} = -\frac{1}{x(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(x+1)}$