与えられた定積分 $\int_{0}^{\log 3} \frac{e^{2x}}{1 + e^x} dx$ を計算せよ。ただし、$e$は自然対数の底を表す。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{\log 3} \frac{e^{2x}}{1 + e^x} dx$

を計算せよ。ただし、$e$は自然対数の底を表す。

2. 解き方の手順

まず、$e^x = t$ と置換する。すると、$e^x dx = dt$ より、$dx = \frac{dt}{t}$ となる。また、$x = 0$ のとき、$t = e^0 = 1$ であり、$x = \log 3$ のとき、$t = e^{\log 3} = 3$ となる。したがって、積分は

$\int_{1}^{3} \frac{t^2}{1 + t} \frac{dt}{t} = \int_{1}^{3} \frac{t}{1 + t} dt$

となる。ここで、$\frac{t}{1 + t} = \frac{t + 1 - 1}{1 + t} = 1 - \frac{1}{1 + t}$ であるから、積分は

$\int_{1}^{3} (1 - \frac{1}{1 + t}) dt = [t - \log(1 + t)]_{1}^{3}$

$= (3 - \log(1 + 3)) - (1 - \log(1 + 1)) = (3 - \log 4) - (1 - \log 2) = 3 - \log(2^2) - 1 + \log 2 = 2 - 2\log 2 + \log 2 = 2 - \log 2$

となる。

3. 最終的な答え

$2 - \log 2$