$\theta$ の関数 $y = \sin 2\theta + \sin \theta + \cos \theta$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおいて、$y$ を $t$ の関数で表します。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (3) $y$ のとりうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$\theta$ の関数 $y = \sin 2\theta + \sin \theta + \cos \theta$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおいて、$y$ を $t$ の関数で表します。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(3) $y$ のとりうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $t$ の関数で表す。

まず、$t = \sin \theta + \cos \theta$ の両辺を2乗します。

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

ここで、$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ であるから、

$\sin 2\theta = t^2 - 1$

したがって、$y = \sin 2\theta + \sin \theta + \cos \theta = t^2 - 1 + t$

よって、$y = t^2 + t - 1$

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

$t = \sin \theta + \cos \theta$ を合成すると、

$t = \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})$

$\theta$ は任意の実数であるから、$\theta + \frac{\pi}{4}$ も任意の実数をとります。

したがって、$-1 \le \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

したがって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) $y$ のとりうる値の範囲を求める。

$y = t^2 + t - 1$ であり、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

$y = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$

$t = -\sqrt{2}$ のとき、$y = (-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2} - 1 = 1 - \sqrt{2}$

$t = -\frac{1}{2}$ は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ の範囲内にあるので、$y$ の最小値は $-\frac{5}{4}$ である。

$1+\sqrt{2} > 1-\sqrt{2}$ なので、$y$ の最大値は $1 + \sqrt{2}$である。

したがって、$y$ のとりうる値の範囲は $-\frac{5}{4} \le y \le 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t - 1$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) $-\frac{5}{4} \le y \le 1 + \sqrt{2}$