関数 $y = x^3 + x^2$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + x^2$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

2. 解き方の手順

平均変化率は、変化の割合で定義され、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの $y$ の平均変化率は、

$$\frac{y(b) - y(a)}{b - a}$$

で与えられます。

まず、$y(b)$ と $y(a)$ を計算します。

$y(b) = b^3 + b^2$

$y(a) = a^3 + a^2$

次に、平均変化率の式に代入します。

$$\frac{y(b) - y(a)}{b - a} = \frac{(b^3 + b^2) - (a^3 + a^2)}{b - a}$$

分子を展開します。

$$\frac{b^3 - a^3 + b^2 - a^2}{b - a}$$

ここで、$b^3 - a^3$ は $(b - a)(b^2 + ab + a^2)$ と因数分解でき、$b^2 - a^2$ は $(b - a)(b + a)$ と因数分解できます。

$$\frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2) + (b - a)(b + a)}{b - a}$$

$(b - a)$ でくくり出します。

$$\frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2 + b + a)}{b - a}$$

$b \neq a$ のとき、$(b - a)$ で約分できます。

$$b^2 + ab + a^2 + b + a$$

3. 最終的な答え

$a^2 + ab + b^2 + a + b$