与えられた6つの1階線形常微分方程式を解く問題です。各方程式は以下の通りです。 (a) $y' + y = 2x$ (b) $y' + y = 3\sin(2x)$ (c) $2y' - 3y = 3e^{2x}$ (d) $2y' - 3y = 2e^x$ (e) $-2y' + y = 2e^x$ (f) $-3y' + 2y = 4x + e^{3x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの1階線形常微分方程式を解く問題です。各方程式は以下の通りです。

(a) $y' + y = 2x$

(b) $y' + y = 3\sin(2x)$

(c) $2y' - 3y = 3e^{2x}$

(d) $2y' - 3y = 2e^x$

(e) $-2y' + y = 2e^x$

(f) $-3y' + 2y = 4x + e^{3x}$

2. 解き方の手順

各方程式を解くために、積分因子を用いるか、同次方程式の解と特殊解を求める方法を使用します。

(a) $y' + y = 2x$

積分因子は $e^{\int 1 dx} = e^x$ です。

両辺に $e^x$ をかけると、

$e^x y' + e^x y = 2xe^x$

$(e^x y)' = 2xe^x$

両辺を積分すると、

$e^x y = \int 2xe^x dx = 2(xe^x - e^x) + C$

$y = 2(x - 1) + Ce^{-x}$

(b) $y' + y = 3\sin(2x)$

積分因子は $e^x$ です。

$e^x y' + e^x y = 3e^x \sin(2x)$

$(e^x y)' = 3e^x \sin(2x)$

$e^x y = \int 3e^x \sin(2x) dx = 3\left(\frac{e^x(\sin(2x) - 2\cos(2x))}{5}\right) + C$

$y = \frac{3}{5}(\sin(2x) - 2\cos(2x)) + Ce^{-x}$

(c) $2y' - 3y = 3e^{2x}$

$y' - \frac{3}{2}y = \frac{3}{2}e^{2x}$

積分因子は $e^{\int -\frac{3}{2} dx} = e^{-\frac{3}{2}x}$ です。

$e^{-\frac{3}{2}x} y' - \frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}x} y = \frac{3}{2}e^{2x}e^{-\frac{3}{2}x} = \frac{3}{2}e^{\frac{1}{2}x}$

$(e^{-\frac{3}{2}x}y)' = \frac{3}{2}e^{\frac{1}{2}x}$

$e^{-\frac{3}{2}x}y = \int \frac{3}{2}e^{\frac{1}{2}x} dx = 3e^{\frac{1}{2}x} + C$

$y = 3e^{2x} + Ce^{\frac{3}{2}x}$

(d) $2y' - 3y = 2e^x$

$y' - \frac{3}{2}y = e^x$

積分因子は $e^{-\frac{3}{2}x}$ です。

$e^{-\frac{3}{2}x}y' - \frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}x}y = e^x e^{-\frac{3}{2}x} = e^{-\frac{1}{2}x}$

$(e^{-\frac{3}{2}x}y)' = e^{-\frac{1}{2}x}$

$e^{-\frac{3}{2}x}y = \int e^{-\frac{1}{2}x} dx = -2e^{-\frac{1}{2}x} + C$

$y = -2e^x + Ce^{\frac{3}{2}x}$

(e) $-2y' + y = 2e^x$

$y' - \frac{1}{2}y = -e^x$

積分因子は $e^{-\frac{1}{2}x}$ です。

$e^{-\frac{1}{2}x}y' - \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}y = -e^x e^{-\frac{1}{2}x} = -e^{\frac{1}{2}x}$

$(e^{-\frac{1}{2}x}y)' = -e^{\frac{1}{2}x}$

$e^{-\frac{1}{2}x}y = \int -e^{\frac{1}{2}x} dx = -2e^{\frac{1}{2}x} + C$

$y = -2e^x + Ce^{\frac{1}{2}x}$

(f) $-3y' + 2y = 4x + e^{3x}$

$y' - \frac{2}{3}y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}e^{3x}$

積分因子は $e^{-\frac{2}{3}x}$ です。

$e^{-\frac{2}{3}x}y' - \frac{2}{3}e^{-\frac{2}{3}x}y = -\frac{4}{3}xe^{-\frac{2}{3}x} - \frac{1}{3}e^{3x}e^{-\frac{2}{3}x} = -\frac{4}{3}xe^{-\frac{2}{3}x} - \frac{1}{3}e^{\frac{7}{3}x}$

$(e^{-\frac{2}{3}x}y)' = -\frac{4}{3}xe^{-\frac{2}{3}x} - \frac{1}{3}e^{\frac{7}{3}x}$

$e^{-\frac{2}{3}x}y = \int \left(-\frac{4}{3}xe^{-\frac{2}{3}x} - \frac{1}{3}e^{\frac{7}{3}x}\right)dx = 2xe^{-\frac{2}{3}x} + 3e^{-\frac{2}{3}x} - \frac{1}{7}e^{\frac{7}{3}x} + C$

$y = 2x + 3 - \frac{1}{7}e^{3x} + Ce^{\frac{2}{3}x}$

3. 最終的な答え

(a) $y = 2(x - 1) + Ce^{-x}$

(b) $y = \frac{3}{5}(\sin(2x) - 2\cos(2x)) + Ce^{-x}$

(c) $y = 3e^{2x} + Ce^{\frac{3}{2}x}$

(d) $y = -2e^x + Ce^{\frac{3}{2}x}$

(e) $y = -2e^x + Ce^{\frac{1}{2}x}$

(f) $y = 2x + 3 - \frac{1}{7}e^{3x} + Ce^{\frac{2}{3}x}$