関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、$x=3$ における微分係数 $f'(3)$ を、微分係数の定義に従って求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、$x=3$ における微分係数 $f'(3)$ を、微分係数の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

である。

この問題では、$a = 3$ であるので、

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$

まず、$f(3+h)$ と $f(3)$ を計算する。

$f(3+h) = (3+h)^2 - 7(3+h) + 4 = 9 + 6h + h^2 - 21 - 7h + 4 = h^2 - h - 8$

$f(3) = 3^2 - 7(3) + 4 = 9 - 21 + 4 = -8$

よって、

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 - h - 8) - (-8)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(h - 1)}{h}$

$h \to 0$ のとき、$h \neq 0$ であるから、$h$ で約分できる。

$f'(3) = \lim_{h \to 0} (h - 1) = 0 - 1 = -1$

3. 最終的な答え

$f'(3) = -1$