関数 $y = \frac{3x^2 - 2x + 5}{\sqrt{x}}$ の微分を求めよ。つまり、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3x^2 - 2x + 5}{\sqrt{x}}$ の微分を求めよ。つまり、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $y = \frac{3x^2 - 2x + 5}{\sqrt{x}}$ である。これを微分するために、まず各項を $x$ のべき乗の形で表す。

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$y = \frac{3x^2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2x}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

$y = 3x^{2-\frac{1}{2}} - 2x^{1-\frac{1}{2}} + 5x^{-\frac{1}{2}}$

$y = 3x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + 5x^{-\frac{1}{2}}$

次に、各項を微分する。べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いる。

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 5 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{2}x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} - \frac{5}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

最後に、$\frac{dy}{dx}$ を整理する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{5}{2x\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{9x^2 - 2x - 5}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{5}{2x\sqrt{x}} = \frac{9x^2 - 2x - 5}{2x\sqrt{x}}$