区分関数 $f(x)$ が与えられており、 $f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 8ax + 3 & (x \le 1) \\ \log_a x & (x > 1) \end{cases}$ この関数が実数全体で単調減少となるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

区分関数 $f(x)$ が与えられており、

$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 8ax + 3 & (x \le 1) \\ \log_a x & (x > 1) \end{cases}$

この関数が実数全体で単調減少となるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \le 1$ のときの関数 $2x^2 - 8ax + 3$ が単調減少となる条件を考えます。この関数を微分すると、$4x - 8a$ となります。区間 $x \le 1$ で単調減少であるためには、$x \le 1$ で $4x - 8a \le 0$ である必要があります。つまり、$x=1$ で $4 - 8a \le 0$ となれば良いので、 $8a \ge 4$ となり、$a \ge \frac{1}{2}$ が必要です。

次に、$x > 1$ のときの関数 $\log_a x$ が単調減少となる条件を考えます。これは、$0 < a < 1$ が必要条件です。

さらに、$x=1$ において、$2x^2 - 8ax + 3$ の値が、$\log_a x$ の $x \to 1^+$ の極限値よりも大きい必要があります。

$x=1$ のとき、$2(1)^2 - 8a(1) + 3 = 5 - 8a$ です。

$x \to 1^+$ のとき、$\log_a x \to \log_a 1 = 0$ です。

したがって、$5 - 8a \ge 0$ となる必要があります。

$8a \le 5$ より、$a \le \frac{5}{8}$ となります。

$a$ の条件をまとめると、$a \ge \frac{1}{2}$、$0 < a < 1$、そして $a \le \frac{5}{8}$ です。これらをすべて満たす $a$ の範囲は、$\frac{1}{2} \le a \le \frac{5}{8}$ となります。

3. 最終的な答え

C. $[\frac{1}{2}, \frac{5}{8}]$