以下の2つの三角方程式を解き、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲における解を、選択肢の中から選ぶ問題です。 (1) $\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = 0$ (2) $\cos 2\theta - \cos 4\theta - \sin 3\theta = 0$

1. 問題の内容

以下の2つの三角方程式を解き、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲における解を、選択肢の中から選ぶ問題です。

(1) $\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = 0$

(2) $\cos 2\theta - \cos 4\theta - \sin 3\theta = 0$

2. 解き方の手順

(1)

和積の公式を用いて、$\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{3})$ を変形します。

$\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$

$A = \theta, B = \theta + \frac{\pi}{3}$ とすると、

$\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\theta + \theta + \frac{\pi}{3}}{2})\cos(\frac{\theta - (\theta + \frac{\pi}{3})}{2})$

$= 2\cos(\theta + \frac{\pi}{6})\cos(-\frac{\pi}{6})$

$= 2\cos(\theta + \frac{\pi}{6})\cos(\frac{\pi}{6})$

$= 2\cos(\theta + \frac{\pi}{6})\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\cos(\theta + \frac{\pi}{6})$

したがって、$\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = 0$ は、

$\sqrt{3}\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) = 0$

$\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) = 0$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + n\pi = \frac{3\pi - \pi}{6} + n\pi = \frac{2\pi}{6} + n\pi = \frac{\pi}{3} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(2)

$\cos 2\theta - \cos 4\theta - \sin 3\theta = 0$

$\cos 2\theta - \cos 4\theta = -2\sin(\frac{2\theta + 4\theta}{2})\sin(\frac{2\theta - 4\theta}{2}) = -2\sin(3\theta)\sin(-\theta) = 2\sin 3\theta \sin \theta$

与式は $2\sin 3\theta \sin \theta - \sin 3\theta = 0$

$\sin 3\theta (2\sin \theta - 1) = 0$

$\sin 3\theta = 0$ または $2\sin \theta - 1 = 0$

$\sin 3\theta = 0$ より、 $3\theta = n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{n\pi}{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $\theta = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$2\sin \theta - 1 = 0$ より、 $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

したがって、 $\theta = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ なので、選択肢の5番が答えです。

(2) $\theta = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$なので、選択肢の1番が答えです。

したがって、

(1) 5

(2) 1