$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず有理化を行います。つまり、$(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})$を分子と分母にかけます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

分子を展開すると、 $(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{x+1})^2 = (x+2) - (x+1) = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{x+2}$ と $\sqrt{x+1}$ も無限大に近づきます。したがって、分母 $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}$ も無限大に近づきます。

分母が無限大に近づき、分子が定数であるため、全体の極限は0に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0$

3. 最終的な答え

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