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与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限値を求めます。 関数は $\frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ です。

解析学極限関数の極限無限大分数関数
2025/7/26

1. 問題の内容

与えられた関数の xx が無限大に近づくときの極限値を求めます。
関数は (2x+1)(3x−1)x2+2x+3\frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3} です。

2. 解き方の手順

極限を計算するために、まず分子を展開します。
(2x+1)(3x−1)=6x2−2x+3x−1=6x2+x−1(2x+1)(3x-1) = 6x^2 - 2x + 3x - 1 = 6x^2 + x - 1
したがって、求める極限は次のようになります。
lim⁡x→∞6x2+x−1x2+2x+3\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + x - 1}{x^2 + 2x + 3}
x2x^2 で分子と分母を割ります。
lim⁡x→∞6+1x−1x21+2x+3x2\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}
xx が無限大に近づくと、1x\frac{1}{x} と 1x2\frac{1}{x^2} は 0 に近づきます。
したがって、極限は次のようになります。
6+0−01+0+0=61=6\frac{6 + 0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{6}{1} = 6

3. 最終的な答え

6

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