$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1}$ を変形します。$x \to -\infty$ なので、$x$ は負の数であり、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ です。

$$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = \sqrt{4x^2(1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2})} = \sqrt{4x^2} \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} = 2|x| \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} = -2x \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}$$

したがって、

$$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x = -2x \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} + 2x = 2x \left(1 - \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}\right)$$

次に、式を有利化します。

$$\begin{aligned} 2x \left(1 - \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}\right) &= 2x \frac{\left(1 - \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}\right) \left(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}\right)}{1 + \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}} \\ &= 2x \frac{1 - \left(1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}\right)}{1 + \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}} \\ &= 2x \frac{\frac{3}{4x} - \frac{1}{4x^2}}{1 + \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}} \\ &= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2x}}{1 + \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}} \end{aligned}$$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2x}}{1 + \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}} = \frac{\frac{3}{2} - 0}{1 + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + 1} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$