極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + ax} - bx$ を有理化する。

$$\sqrt{x^2 + ax} - bx = \frac{(\sqrt{x^2 + ax} - bx)(\sqrt{x^2 + ax} + bx)}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = \frac{x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = \frac{(1-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{x^2 + ax} + bx}$$

ここで、$x > 0$ として $\sqrt{x^2 + ax} = \sqrt{x^2(1+\frac{a}{x})} = x\sqrt{1+\frac{a}{x}}$ となることを利用する。

$$\frac{(1-b^2)x^2 + ax}{x\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + bx} = \frac{(1-b^2)x + a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + b}$$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つためには、$\lim_{x \to \infty} \frac{(1-b^2)x + a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + b} = 3$ でなければならない。

ここで、$1-b^2 \neq 0$ ならば、$\lim_{x \to \infty} \frac{(1-b^2)x + a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + b} = \pm \infty$ となり、極限値が3となることに矛盾する。

したがって、$1-b^2 = 0$ である必要がある。

$1-b^2 = 0$ より、$b = \pm 1$ である。

ここで、$b = -1$ ならば、$\sqrt{x^2 + ax} - bx = \sqrt{x^2 + ax} + x \to \infty$ ($x \to \infty$) となるため、極限値が3となることに矛盾する。

したがって、$b = 1$ である必要がある。

$b = 1$ のとき、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{(1-b^2)x + a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = \frac{a}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{a}{2}$$

$\frac{a}{2} = 3$ より、$a = 6$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 6, b = 1$