次の3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(2-x)^{2}} dx$ (2) $\int_{1}^{2} x \sqrt{2-x} dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos^{2}x) \sin x dx$

1. 問題の内容

次の3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(2-x)^{2}} dx$

(2) $\int_{1}^{2} x \sqrt{2-x} dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos^{2}x) \sin x dx$

2. 解き方の手順

(1)

被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x-1}{(2-x)^{2}} = \frac{(2-x)-1}{(2-x)^{2}} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{(2-x)^{2}}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(2-x)^{2}} dx = \int_{0}^{1} (\frac{1}{2-x} - \frac{1}{(2-x)^{2}}) dx$

$= [-\log|2-x| - \frac{1}{2-x}]_{0}^{1}$

$= (-\log|2-1| - \frac{1}{2-1}) - (-\log|2-0| - \frac{1}{2-0})$

$= (-\log 1 - 1) - (-\log 2 - \frac{1}{2})$

$= (0 - 1) - (-\log 2 - \frac{1}{2})$

$= -1 + \log 2 + \frac{1}{2}$

$= \log 2 - \frac{1}{2}$

(2)

$t = 2-x$と置換すると、$x = 2-t$, $dx = -dt$。積分範囲は $x: 1 \to 2$ が $t: 1 \to 0$ に変わります。

$\int_{1}^{2} x \sqrt{2-x} dx = \int_{1}^{0} (2-t) \sqrt{t} (-dt) = \int_{0}^{1} (2-t) t^{\frac{1}{2}} dt = \int_{0}^{1} (2t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}}) dt$

$= [\frac{4}{3}t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

$= (\frac{4}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}(1)^{\frac{5}{2}}) - (\frac{4}{3}(0)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}(0)^{\frac{5}{2}})$

$= \frac{4}{3} - \frac{2}{5}$

$= \frac{20 - 6}{15} = \frac{14}{15}$

(3)

$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$。積分範囲は $x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ が $t: 1 \to 0$ に変わります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos^{2}x) \sin x dx = \int_{1}^{0} (1+t^{2})(-dt) = \int_{0}^{1} (1+t^{2}) dt$

$= [t + \frac{1}{3}t^{3}]_{0}^{1}$

$= (1 + \frac{1}{3}(1)^{3}) - (0 + \frac{1}{3}(0)^{3})$

$= 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\log 2 - \frac{1}{2}$

(2) $\frac{14}{15}$

(3) $\frac{4}{3}$