$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin\theta$ を用いて表す。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$

これを $y$ に代入すると、

$y = 1 - 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta$

$t = \sin\theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$y = -2t^2 + 2\sqrt{3}t + 1$

平方完成すると、

$y = -2(t^2 - \sqrt{3}t) + 1$

$y = -2(t - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2(\frac{3}{4}) + 1$

$y = -2(t - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{3}{2} + 1$

$y = -2(t - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{5}{2}$

よって、$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、最大値 $\frac{5}{2}$ をとる。

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ である。

次に、最小値を考える。$t = -1$ のとき、

$y = -2(-1)^2 + 2\sqrt{3}(-1) + 1$

$y = -2 - 2\sqrt{3} + 1$

$y = -1 - 2\sqrt{3}$

$t = 1$ のとき、

$y = -2(1)^2 + 2\sqrt{3}(1) + 1$

$y = -2 + 2\sqrt{3} + 1$

$y = -1 + 2\sqrt{3}$

$-1 - 2\sqrt{3}$ の方が小さいので、最小値は $-1 - 2\sqrt{3}$。

$\sin\theta = -1$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ である。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{5}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ のとき)

最小値：$-1 - 2\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき)