与えられた4つの積分・極限の問題を解き、空欄を埋める問題です。 (1) $\int \frac{dx}{(5x+3)^2} = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}x + \boxed{エオ}} + C$ (2) $\int e^{3x} \cos x dx = \frac{1}{\boxed{カキ}} e^{\boxed{ク}x} (\sin x + \boxed{ケ} \cos x) + C$ (3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx = \log \left| \frac{x - \boxed{サシ}}{x + \boxed{コ}} \right|^{\boxed{ス}} + C$ (4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt = \boxed{セ} \sqrt{\boxed{ソ}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分・極限の問題を解き、空欄を埋める問題です。

(1) $\int \frac{dx}{(5x+3)^2} = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}x + \boxed{エオ}} + C$

(2) $\int e^{3x} \cos x dx = \frac{1}{\boxed{カキ}} e^{\boxed{ク}x} (\sin x + \boxed{ケ} \cos x) + C$

(3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx = \log \left| \frac{x - \boxed{サシ}}{x + \boxed{コ}} \right|^{\boxed{ス}} + C$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt = \boxed{セ} \sqrt{\boxed{ソ}}$

2. 解き方の手順

(1)

$u = 5x+3$ と置換すると、$du = 5 dx$ より $dx = \frac{1}{5} du$。

よって、

$\int \frac{dx}{(5x+3)^2} = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{-2} du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{5u} + C = -\frac{1}{5(5x+3)} + C = -\frac{1}{25x+15} + C$.

したがって、$\boxed{ア} = -1, \boxed{イウ} = 25, \boxed{エオ} = 15$。

(2)

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{3x} \cos x dx$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x - \int \frac{1}{3} e^{3x} (-\sin x) dx = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{3} \int e^{3x} \sin x dx$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cos x dx \right]$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{9} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} \int e^{3x} \cos x dx$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{9} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} I$

$\frac{10}{9} I = e^{3x} \left( \frac{1}{9} \sin x + \frac{1}{3} \cos x \right)$

$I = \frac{9}{10} e^{3x} \left( \frac{1}{9} \sin x + \frac{3}{9} \cos x \right) = \frac{1}{10} e^{3x} (\sin x + 3 \cos x) + C$

したがって、$\boxed{カキ} = 10, \boxed{ク} = 3, \boxed{ケ} = 3$。

(3)

$\frac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

$x+5 = A(x+2) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $6 = 3A$ より $A=2$。

$x=-2$ のとき $3 = -3B$ より $B=-1$。

$\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx = \int \left( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = 2 \log|x-1| - \log|x+2| + C = \log \left| \frac{(x-1)^2}{x+2} \right| + C$

したがって、$\boxed{サシ} = 1, \boxed{コ} = 2, \boxed{ス} = 2$。

(4)

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt}{\frac{d}{dx} (x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+4}}{1} = \sqrt{2^2+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、$\boxed{セ} = 2, \boxed{ソ} = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $-1 / (25x + 15)$

(2) $(1/10) e^{3x} (\sin x + 3 \cos x)$

(3) $\log \left| \frac{(x - 1)^2}{x + 2} \right|$

(4) $2 \sqrt{2}$