次の極限を計算する問題です。ここで、$a>0$ です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\log(x+a) - \log a}{x} $$

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。ここで、$a>0$ です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(x+a) - \log a}{x}$$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、まず対数の性質を使って式を簡略化します。対数の差は対数の商で表せるので、次のように変形できます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log \left(\frac{x+a}{a}\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log \left(1 + \frac{x}{a}\right)}{x}$$

次に、$y = x/a$ と置換します。$x \to 0$ のとき、$y \to 0$ です。すると、$x = ay$ となり、極限は次のようになります。

$$\lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)}{ay} = \frac{1}{a} \lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)}{y}$$

ここで、よく知られた極限 $\lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1$ を使います。

したがって、

$$\frac{1}{a} \lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = \frac{1}{a} \cdot 1 = \frac{1}{a}$$

あるいは、ロピタルの定理を使うこともできます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(x+a) - \log a}{x}$$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。分子と分母をそれぞれ $x$ で微分します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} (\log(x+a) - \log a)}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+a}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+a}$$

$x \to 0$ のとき、$\frac{1}{x+a} \to \frac{1}{a}$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+a} = \frac{1}{a}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a}$