与えられた極限を計算します。問題は、 $\lim_{x\to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1)$ を求めることです。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は、

$\lim_{x\to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1)$

を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\lim_{x\to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1) = \lim_{x\to 1} \frac{x \log x - (1-x)}{(1-x) \log x} (x-1) = \lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{(1-x) \log x} (x-1)$

ここで、$x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{(1-x) \log x} (x-1) = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \log (1+h) + (1+h) - 1}{(1-(1+h)) \log (1+h)} (1+h-1) = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \log (1+h) + h}{(-h) \log (1+h)} h$

ここで、$\log (1+h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots$ であることを用いると、

$\lim_{h\to 0} \frac{(1+h) (h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots) + h}{(-h) (h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots)} h = \lim_{h\to 0} \frac{h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots + h^2 - \frac{h^3}{2} + \cdots + h}{-h^2 + \frac{h^3}{2} - \frac{h^4}{3} + \cdots} h = \lim_{h\to 0} \frac{2h + \frac{h^2}{2} + O(h^3)}{-h^2 + O(h^3)} h = \lim_{h\to 0} \frac{2h^2 + \frac{h^3}{2}}{-h^2} = \lim_{h\to 0} \frac{2 + \frac{h}{2}}{-1} = -2$

したがって、

$\lim_{x\to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1) = -2$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{(1-x) \log x} (x-1) = \lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{-\log x} = \lim_{x\to 1} \frac{\log x + 1 + 1}{-1/x} = \frac{0+1+1}{-1} = -2$

さらに、$\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\log x} = 1$ を用いると、

$\lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{(1-x) \log x} (x-1) = \lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{\log x} \frac{x-1}{1-x} = \lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{\log x} (-1)$

ここで、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to 1} \frac{x \log x + x - 1}{\log x} = \lim_{x\to 1} \frac{\log x + x (1/x) + 1}{1/x} = \lim_{x\to 1} \frac{\log x + 1 + 1}{1/x} = \frac{0 + 1 + 1}{1} = 2$

よって、$\lim_{x\to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1) = -2$

3. 最終的な答え

-2