関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$u = x \log x - x$ とおくと、$y = u^2$ となります。

まず、$y$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = 2u$

次に、$u$ を $x$ で微分します。

$u = x \log x - x$ の微分には積の微分法を使います。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log x) - \frac{d}{dx}(x) = (1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}) - 1 = \log x + 1 - 1 = \log x$

合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \log x$

$u = x \log x - x$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \log x = 2x (\log x - 1) \log x$

$\frac{dy}{dx} = 2x (\log x)^2 - 2x \log x$

3. 最終的な答え

$2x (\log x)^2 - 2x \log x$