$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$を$\frac{\sin x}{\cos x}$で置き換えます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3}$$

次に、分子を整理します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin x \cos x}{x^3 \cos x}$$

$\sin x$をくくり出します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$$

ここで、$\cos x$の極限は$x \to 0$のとき1になるので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3}$$

次に、$1 - \cos x$を$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$で置き換えます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot 2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^3}$$

$\sin x \approx x$（$x \to 0$のとき）なので、$\sin x$と$\sin \frac{x}{2}$をそれぞれ$x$と$\frac{x}{2}$で置き換えることを考えます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 (\frac{x}{2})^2}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \cdot \frac{x^2}{4}}{x^3}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

あるいは、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$と$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$を利用して

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1-\cos x}{x^2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$