(3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx$ を計算し、$\log$ の形で表された結果の空欄を埋める。 (4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt$ を計算し、結果の空欄を埋める。

1. 問題の内容

(3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx$ を計算し、$\log$ の形で表された結果の空欄を埋める。

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt$ を計算し、結果の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(3)

部分分数分解を行う。

$\frac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

$x+5 = A(x+2) + B(x-1)$

$x=1$ のとき、$6 = 3A$ より $A=2$

$x=-2$ のとき、$3 = -3B$ より $B=-1$

よって、

$\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} dx = \int \left( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = 2 \log |x-1| - \log |x+2| + C = \log \frac{(x-1)^2}{|x+2|} + C$

従って、サシ= -1, ス= 2, コ= 2

(4)

これは不定形の極限 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 2} \frac{\int_2^x \sqrt{t^2+4} dt}{x-2}$

$\frac{d}{dx} \int_2^x \sqrt{t^2+4} dt = \sqrt{x^2+4}$

$\frac{d}{dx} (x-2) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+4}}{1} = \sqrt{2^2+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

従って、セ= 2, ソ= 2

3. 最終的な答え

(3)

サシ= -1, ス= 2, コ= 2

(4)

セ= 2, ソ= 2