次の不定積分を求めよ。ただし、数値は半角数字で入力すること。 $\int \frac{\sin x}{3-3\cos x -2\sin^2 x} dx$ の不定積分を求め、 $\log|\frac{\boxed{ア}\cos x-\boxed{イ}}{\cos x-\boxed{ウ}}|+C$ の $\boxed{ア}$, $\boxed{イ}$, $\boxed{ウ}$ に当てはまる数字を答える問題。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。ただし、数値は半角数字で入力すること。

$\int \frac{\sin x}{3-3\cos x -2\sin^2 x} dx$

の不定積分を求め、

$\log|\frac{\boxed{ア}\cos x-\boxed{イ}}{\cos x-\boxed{ウ}}|+C$

の $\boxed{ア}$, $\boxed{イ}$, $\boxed{ウ}$ に当てはまる数字を答える問題。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いて、積分を書き換えます。

$\int \frac{\sin x}{3-3\cos x -2(1-\cos^2 x)} dx = \int \frac{\sin x}{3-3\cos x -2+2\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{2\cos^2 x -3\cos x + 1} dx$

ここで、$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ となります。

よって、

$\int \frac{\sin x}{2\cos^2 x -3\cos x + 1} dx = \int \frac{-1}{2t^2 -3t + 1} dt = -\int \frac{1}{2t^2 -3t + 1} dt$

分母を因数分解します。

$2t^2 -3t + 1 = (2t-1)(t-1)$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(2t-1)(t-1)} = \frac{A}{2t-1} + \frac{B}{t-1}$

$1 = A(t-1) + B(2t-1)$

$t=1$ のとき $1 = A(0) + B(2(1)-1) = B$, よって $B=1$.

$t=\frac{1}{2}$ のとき $1 = A(\frac{1}{2}-1) + B(0) = A(-\frac{1}{2})$, よって $A = -2$.

したがって、

$\frac{1}{(2t-1)(t-1)} = \frac{-2}{2t-1} + \frac{1}{t-1}$

よって、積分は

$-\int (\frac{-2}{2t-1} + \frac{1}{t-1}) dt = 2\int \frac{1}{2t-1} dt - \int \frac{1}{t-1} dt$

$= \log|2t-1| - \log|t-1| + C = \log|\frac{2t-1}{t-1}| + C$

$t = \cos x$ を代入すると、

$\log|\frac{2\cos x - 1}{\cos x - 1}| + C$

求めるべき形は $\log|\frac{\boxed{ア}\cos x-\boxed{イ}}{\cos x-\boxed{ウ}}|+C$ なので、

$\boxed{ア}=2$, $\boxed{イ}=1$, $\boxed{ウ}=1$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 1