$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x}$ (ただし、$a > 0$ かつ $a \neq 1$) を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x}$ (ただし、$a > 0$ かつ $a \neq 1$) を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず$y = a^x$とおきます。すると、$x = \log_a y$となります。$x \to 0$のとき、$y \to a^0 = 1$です。したがって、元の極限は次のように書き換えることができます。

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{y \to 1} \frac{y - 1}{\log_a y}$

次に、対数の底の変換公式を用いて、$\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ と書き換えます。すると、

$\lim_{y \to 1} \frac{y - 1}{\log_a y} = \lim_{y \to 1} \frac{y - 1}{\frac{\ln y}{\ln a}} = \ln a \cdot \lim_{y \to 1} \frac{y - 1}{\ln y}$

ここで、$z = y - 1$とおくと、$y = z + 1$となり、$y \to 1$のとき、$z \to 0$です。したがって、

$\ln a \cdot \lim_{y \to 1} \frac{y - 1}{\ln y} = \ln a \cdot \lim_{z \to 0} \frac{z}{\ln(z+1)}$

$\lim_{z \to 0} \frac{\ln(1+z)}{z} = 1$ であることを利用すると、

$\ln a \cdot \lim_{z \to 0} \frac{z}{\ln(z+1)} = \ln a \cdot \frac{1}{\lim_{z \to 0} \frac{\ln(1+z)}{z}} = \ln a \cdot \frac{1}{1} = \ln a$

3. 最終的な答え

$\ln a$