与えられた問題は、極限、級数の和、微分の計算問題です。具体的には、以下の内容を計算します。 * 問題1.1：極限の計算 * (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 - 1}$ * (2) $\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{\sqrt{x + 7} - 2}$ * 問題1.2：級数の和の計算 * $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ * 問題1.3：微分の計算 * (1) $y = (x^2 + 2)\sqrt{2x + 1}$ のときの $y'$ * (2) $y = \frac{x + 3}{x^2 + x + 1}$ のときの $y'$ * (3) $y = (\sqrt{x} + 3x + 3)^4$ のときの $y'$ * (4) $y = (x^2 + 3x)e^{3x}$ のときの $y'$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限、級数の和、微分の計算問題です。具体的には、以下の内容を計算します。

* 問題1.1：極限の計算

* (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 - 1}$

* (2) $\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{\sqrt{x + 7} - 2}$

* 問題1.2：級数の和の計算

* $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

* 問題1.3：微分の計算

* (1) $y = (x^2 + 2)\sqrt{2x + 1}$ のときの $y'$

* (2) $y = \frac{x + 3}{x^2 + x + 1}$ のときの $y'$

* (3) $y = (\sqrt{x} + 3x + 3)^4$ のときの $y'$

* (4) $y = (x^2 + 3x)e^{3x}$ のときの $y'$

2. 解き方の手順

* 問題1.1 (1):

分子と分母は $x=1$ で $0$ となるので、因数分解して不定形を解消します。

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)^2$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)^2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 2)^2}{x^2 + x + 1} = \frac{(1 + 2)^2}{1^2 + 1 + 1} = \frac{9}{3} = 3$

* 問題1.1 (2):

分母が $0$ に近づくので、分子分母に $\sqrt{x + 7} + 2$ を掛けて有理化します。

$\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{\sqrt{x + 7} - 2} = \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(\sqrt{x + 7} + 2)}{(\sqrt{x + 7} - 2)(\sqrt{x + 7} + 2)} = \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(\sqrt{x + 7} + 2)}{x + 7 - 4} = \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(\sqrt{x + 7} + 2)}{x + 3} = \lim_{x \to -3} (\sqrt{x + 7} + 2) = \sqrt{-3 + 7} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$

* 問題1.2:

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+2}$

$1 = A(n+2) + B(n+1)$

$n = -1$ のとき $1 = A(-1 + 2) \implies A = 1$

$n = -2$ のとき $1 = B(-2 + 1) \implies B = -1$

よって、

$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + ... = \frac{1}{2}$

* 問題1.3 (1):

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$y = (x^2 + 2)\sqrt{2x + 1} = (x^2 + 2)(2x + 1)^{1/2}$

$y' = 2x(2x + 1)^{1/2} + (x^2 + 2) \cdot \frac{1}{2} (2x + 1)^{-1/2} \cdot 2 = 2x\sqrt{2x + 1} + \frac{x^2 + 2}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{2x(2x + 1) + x^2 + 2}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{4x^2 + 2x + x^2 + 2}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{5x^2 + 2x + 2}{\sqrt{2x + 1}}$

* 問題1.3 (2):

商の微分公式を使います。

$y = \frac{x + 3}{x^2 + x + 1}$

$y' = \frac{1(x^2 + x + 1) - (x + 3)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{x^2 + x + 1 - (2x^2 + x + 6x + 3)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{x^2 + x + 1 - 2x^2 - 7x - 3}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{-x^2 - 6x - 2}{(x^2 + x + 1)^2} = -\frac{x^2 + 6x + 2}{(x^2 + x + 1)^2}$

* 問題1.3 (3):

合成関数の微分公式を使います。

$y = (\sqrt{x} + 3x + 3)^4 = (x^{1/2} + 3x + 3)^4$

$y' = 4(x^{1/2} + 3x + 3)^3 (\frac{1}{2}x^{-1/2} + 3) = 4(\sqrt{x} + 3x + 3)^3 (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3) = \frac{4}{\sqrt{x}} (\sqrt{x} + 3x + 3)^3 (\frac{1}{2} + 3\sqrt{x}) = \frac{2}{\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 3x + 3)^3 (1 + 6\sqrt{x})$

* 問題1.3 (4):

積の微分公式を使います。

$y = (x^2 + 3x)e^{3x}$

$y' = (2x + 3)e^{3x} + (x^2 + 3x) \cdot 3e^{3x} = (2x + 3 + 3x^2 + 9x)e^{3x} = (3x^2 + 11x + 3)e^{3x}$

3. 最終的な答え

* ア: 3

* イ: 4

* ウ: 1/2

* エ: 5

* オ: 2

* カ: 2

* キ: 6

* ク: 2

* ケ: 2

* コ: 3

* サ: 6

* シ: 1

* ス: 3

* セ: 11

* ソ: 1

* タ: 3