次の極限を求めよ。 (a) $\lim_{x\to 0} \frac{2x^2 + 3x}{|x|}$ (b) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + \sqrt{x^2 + x})$ (c) $\lim_{x\to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x$ (d) $\lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{1 + x^2}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

(a) $\lim_{x\to 0} \frac{2x^2 + 3x}{|x|}$

(b) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + \sqrt{x^2 + x})$

(c) $\lim_{x\to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x$

(d) $\lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{1 + x^2}$

2. 解き方の手順

(a)

$x>0$ のとき $|x| = x$ より

$\lim_{x\to 0^+} \frac{2x^2 + 3x}{|x|} = \lim_{x\to 0^+} \frac{2x^2 + 3x}{x} = \lim_{x\to 0^+} (2x + 3) = 3$

$x<0$ のとき $|x| = -x$ より

$\lim_{x\to 0^-} \frac{2x^2 + 3x}{|x|} = \lim_{x\to 0^-} \frac{2x^2 + 3x}{-x} = \lim_{x\to 0^-} (-2x - 3) = -3$

右極限と左極限が異なるので、極限は存在しない。

(b)

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + \sqrt{x^2 + x}) = \lim_{x\to \infty} x(\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}})$

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x$ を使うと

$\lim_{x\to \infty} x(1 + \frac{1}{2}\frac{4}{x} + 1 + \frac{1}{2}\frac{1}{x}) = \lim_{x\to \infty} x(2 + \frac{5}{2x}) = \lim_{x\to \infty} (2x + \frac{5}{2}) = \infty$

$\sqrt{x^2+4x} = \sqrt{(x+2)^2-4} \approx x+2$

$\sqrt{x^2+x} = \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}} \approx x+\frac{1}{2}$

$\sqrt{x^2+4x} + \sqrt{x^2+x} \approx x+2 + x+\frac{1}{2} = 2x + \frac{5}{2}$

$\lim_{x\to \infty} 2x + \frac{5}{2} = \infty$

(c)

$\lim_{x\to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$

(d)

$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{1 + x^2} = \lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{x^2(1/x^2 + 1)} = \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{1/x^2 + 1} = \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{1} = -\infty$

3. 最終的な答え

(a) 存在しない

(b) $\infty$

(c) $e^a$

(d) $-\infty$