$n$ を自然数とする。関数 $y = (x - 1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。関数 $y = (x - 1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、1次導関数、2次導関数を計算し、規則性を見つける。

$y = (x - 1)e^x$

1次導関数:

$y' = \frac{d}{dx} (x - 1)e^x = (x - 1)'e^x + (x - 1)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x - 1)e^x = xe^x$

2次導関数:

$y'' = \frac{d}{dx} (xe^x) = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + xe^x = (x + 1)e^x$

3次導関数:

$y''' = \frac{d}{dx} (x + 1)e^x = (x + 1)'e^x + (x + 1)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$

同様に続けると、$n$ 次導関数は、

$y^{(n)} = (x + n - 1)e^x$

であることが予想される。

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n = 1$ のとき: $y' = (x + 1 - 1)e^x = xe^x$ となり、成立する。

(2) $n = k$ のとき、$y^{(k)} = (x + k - 1)e^x$ が成立すると仮定する。

$n = k + 1$ のとき:

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} (x + k - 1)e^x = (x + k - 1)'e^x + (x + k - 1)(e^x)' = e^x + (x + k - 1)e^x = (x + k)e^x$

$y^{(k+1)} = (x + (k + 1) - 1)e^x$ となり、$n = k + 1$ のときも成立する。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して $y^{(n)} = (x + n - 1)e^x$ が成立する。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (x + n - 1)e^x$