$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める。ここで、$n$ は自然数である。

1. 問題の内容

$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める。ここで、$n$ は自然数である。

2. 解き方の手順

まず、$y$ のいくつかの導関数を計算し、規則性を見つける。

$y = e^{2x}$

1階導関数: $y' = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}$

2階導関数: $y'' = \frac{d}{dx}(2e^{2x}) = 2^2e^{2x} = 4e^{2x}$

3階導関数: $y''' = \frac{d}{dx}(4e^{2x}) = 2^3e^{2x} = 8e^{2x}$

一般に、

$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

数学的帰納法で示す。

(1) $n=1$のとき、$y' = 2e^{2x}$となり、$2^1 e^{2x}$と一致する。

(2) $n=k$のとき、$y^{(k)} = 2^k e^{2x}$が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx}(y^{(k)}) = \frac{d}{dx}(2^k e^{2x}) = 2^k \cdot 2e^{2x} = 2^{k+1} e^{2x}$

したがって、$n=k+1$のときも、$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$が成り立つ。

以上より、数学的帰納法により、$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$がすべての自然数 $n$ に対して成り立つ。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$