(4) 関数 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める問題です。 (5) 関数 $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ の偏微分係数 $f_x(1, 1)$ と $f_y(1, 1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

(4) 関数 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める問題です。

(5) 関数 $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ の偏微分係数 $f_x(1, 1)$ と $f_y(1, 1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(4)

偏微分の定義を用いて計算します。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$なので、$f(0, 0) = \sqrt{0^2 + 0^4} = 0$

$f(h, 0) = \sqrt{h^2 + 0^4} = |h|$

$f(0, k) = \sqrt{0^2 + k^4} = k^2$

したがって、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

この極限は $h \to 0^+$ で1, $h \to 0^-$ で-1となるため、存在しません。

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{k^2 - 0}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

(5)

まず、$f(x, y)$ を計算します。

$f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$

$p \to \infty$ のとき、絶対値の大きい方が支配的になります。

したがって、

$f(x, y) = \max\{|3x|, |2y|\}$

$f_x(1, 1)$ と $f_y(1, 1)$ を求めるために、$x$ および $y$ で偏微分します。

$f(x,y)$ を $x$ で偏微分するときは、 $f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \max\{|3x|, |2y|\}$

$f(x,y)$ を $y$ で偏微分するときは、 $f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \max\{|3x|, |2y|\}$

点(1, 1) において $|3x| = 3$ および $|2y| = 2$ なので、 $|3x| > |2y|$ となり、$f(x, y) = |3x|$ となります。

したがって、$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} |3x| = 3\frac{x}{|x|}$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} |3x| = 0$

よって、$f_x(1, 1) = 3$ および $f_y(1, 1) = 0$

3. 最終的な答え

(4)

$f_x(0, 0)$ は存在しない。

$f_y(0, 0) = 0$

(5)

$f_x(1, 1) = 3$

$f_y(1, 1) = 0$