与えられた3つの関数をそれぞれ積分する問題です。 (1) $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$ (2) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$ (3) $\int \frac{1}{4 \cos^2 x + \sin^2 x} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ積分する問題です。

(1) $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$

(2) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

(3) $\int \frac{1}{4 \cos^2 x + \sin^2 x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$

半角の公式を用いて、$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$, $dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ と置換する。ここで、$t = \tan \frac{x}{2}$。

$\int \frac{1}{2 + \frac{2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{2}{2(1 + t^2) + 2t} dt = \int \frac{1}{t^2 + t + 1} dt$

$\int \frac{1}{(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dt = \int \frac{1}{(t + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dt$

$u = t + \frac{1}{2}$ と置換すると、$du = dt$ なので、

$\int \frac{1}{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} du = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2u}{\sqrt{3}} + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2(t + \frac{1}{2})}{\sqrt{3}} + C$

$\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} + C$

(2) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} dx = \int \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x - \csc x \cot x dx = -\cot x + \csc x + C_1$

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ において、$u = 1 + \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ なので、

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = \int -\frac{1}{u} du = -\ln |u| + C_2 = -\ln |1 + \cos x| + C_2$

したがって、$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = -\cot x + \csc x - \ln(1 + \cos x) + C$

(3) $\int \frac{1}{4 \cos^2 x + \sin^2 x} dx$

$\int \frac{1}{4 \cos^2 x + \sin^2 x} dx = \int \frac{1}{\cos^2 x(4 + \tan^2 x)} dx = \int \frac{\sec^2 x}{4 + \tan^2 x} dx$

$u = \tan x$ と置換すると、$du = \sec^2 x dx$ なので、

$\int \frac{1}{4 + u^2} du = \int \frac{1}{2^2 + u^2} du = \frac{1}{2} \arctan \frac{u}{2} + C = \frac{1}{2} \arctan \frac{\tan x}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} + C$

(2) $-\cot x + \csc x - \ln(1 + \cos x) + C$

(3) $\frac{1}{2} \arctan \frac{\tan x}{2} + C$