与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の問いに答えます。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\ c & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ (1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。 (2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。 (3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の問いに答えます。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\

c & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

偏微分の定義に従い計算します。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = \frac{2h^3(0) - 3h(0)^3}{h^2 + 0^2} + h(0)^3 = 0$

$f(0, 0) = 0$ (なぜなら、$c = 0$)

したがって、$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

同様に、$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(0, k) = \frac{2(0)^3k - 3(0)k^3}{0^2 + k^2} + 0(k)^3 = 0$

$f(0, 0) = 0$ (なぜなら、$c = 0$)

したがって、$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = \frac{2h^3(0) - 3h(0)^3}{h^2 + 0^2} + h(0)^3 = 0$

$f(0, 0) = 1$ (なぜなら、$c = 1$)

したがって、$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{h}$. この極限は存在しない。つまり$f_x(0,0)$は存在しない。同様に$f_y(0,0)$も存在しない。

したがって、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ は存在しない。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求める。

まず、$f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を $(x, y) \neq (0, 0)$ で計算します。

$f(x, y) = \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3$

$f_x(x, y) = \frac{(6x^2y - 3y^3)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} + y^3 = \frac{2x^4y + 9x^2y^3 + 3y^5}{(x^2 + y^2)^2} + y^3$

$f_y(x, y) = \frac{(2x^3 - 9xy^2)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} + 3xy^2 = \frac{2x^5 - 3x^3y^2 - 9xy^4}{(x^2 + y^2)^2} + 3xy^2$

$f_{xy}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_x(0, h) - f_x(0, 0)}{h}$

$f_x(0, h) = \frac{2(0)^4h + 9(0)^2h^3 + 3h^5}{(0^2 + h^2)^2} + h^3 = \frac{3h^5}{h^4} + h^3 = 3h + h^3$

$f_x(0, 0) = 0$ (上記(1)より)

$f_{xy}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{3h + h^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} (3 + h^2) = 3$

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h, 0) - f_y(0, 0)}{h}$

$f_y(h, 0) = \frac{2h^5 - 3h^3(0)^2 - 9h(0)^4}{(h^2 + 0^2)^2} + 3h(0)^2 = \frac{2h^5}{h^4} + 0 = 2h$

$f_y(0, 0) = 0$ (上記(1)より)

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{2h - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

(2) $f_x(0, 0)$と$f_y(0, 0)$ は存在しない。

(3) $f_{xy}(0, 0) = 3$, $f_{yx}(0, 0) = 2$