$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\theta \to 0$ のとき、分子 $1 - \cos(3\theta)$ は $1 - 1 = 0$ に近づき、分母 $\theta^2$ も $0$ に近づくので、この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしています。

そこで、以下の公式を利用して、極限を計算します。

- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

- $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$

まず、分子を三角関数の公式を使って変形します。

$1 - \cos(3\theta) = 2\sin^2(\frac{3\theta}{2})$

したがって、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos(3\theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{3\theta}{2})}{\theta^2}$

ここで、$\frac{\sin(\frac{3\theta}{2})}{\frac{3\theta}{2}} \to 1$ を利用できるように変形します。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{3\theta}{2})}{\theta^2} = 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin^2(\frac{3\theta}{2})}{\theta^2}$

$= 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\frac{3\theta}{2})}{\theta} \cdot \frac{\sin(\frac{3\theta}{2})}{\theta}$

$= 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\frac{3\theta}{2})}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin(\frac{3\theta}{2})}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \frac{3}{2}$

$= 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot \frac{3}{2}$

$= 2 \cdot \frac{9}{4}$

$= \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$