(a) 関数 $y = \frac{1}{(x^2+1)^3}$ の導関数を求めよ。 (b) 関数 $y = \log\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$ の導関数を求めよ。 ここで $\log$ は自然対数とする。

## 解答

1. 問題の内容

(a) 関数 $y = \frac{1}{(x^2+1)^3}$ の導関数を求めよ。

(b) 関数 $y = \log\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$ の導関数を求めよ。

ここで $\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

(a)

$y = \frac{1}{(x^2+1)^3} = (x^2+1)^{-3}$ と書き換える。

合成関数の微分法を用いる。

$u = x^2+1$ とすると、$y = u^{-3}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -3u^{-4} \cdot 2x = -6x(x^2+1)^{-4} = -\frac{6x}{(x^2+1)^4}$

(b)

$y = \log\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$ の導関数を求める。

対数の性質を用いて式を簡単にする。

$y = \log(1+\sin x) - \log(\cos x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\sin x} \cdot \cos x - \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)$

$= \frac{\cos x}{1+\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}$

$= \frac{\cos^2 x + \sin x(1+\sin x)}{(1+\sin x)\cos x}$

$= \frac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{(1+\sin x)\cos x}$

$= \frac{1+\sin x}{(1+\sin x)\cos x}$

$= \frac{1}{\cos x}$

$= \sec x$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{dy}{dx} = -\frac{6x}{(x^2+1)^4}$

(b) $\frac{dy}{dx} = \sec x$