次の3つの関数を積分せよ。 (1) $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$ (2) $\frac{x^3 + 2x^2 - 2}{x^2 + x - 2}$ (3) $\frac{2x - 1}{x(x+1)^2}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

次の3つの関数を積分せよ。

(1) $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$

(2) $\frac{x^3 + 2x^2 - 2}{x^2 + x - 2}$

(3) $\frac{2x - 1}{x(x+1)^2}$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、部分分数分解を行い、積分を計算する。

(1) $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$ の積分

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$ とおく。

$x - 1 = A(x-2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき、$-2 = -3A$ より $A = \frac{2}{3}$

$x = 2$ のとき、$1 = 3B$ より $B = \frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{3(x+1)} + \frac{1}{3(x-2)}$

$\int \frac{x-1}{(x+1)(x-2)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{2}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \ln|x-2| + C$

(2) $\frac{x^3 + 2x^2 - 2}{x^2 + x - 2}$ の積分

まず、分子を分母で割る。

$x^3 + 2x^2 - 2 = (x^2 + x - 2)(x + 1) + x$

したがって、

$\frac{x^3 + 2x^2 - 2}{x^2 + x - 2} = x + 1 + \frac{x}{x^2 + x - 2}$

ここで、$\frac{x}{x^2 + x - 2} = \frac{x}{(x+2)(x-1)} = \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-1}$ とおく。

$x = C(x-1) + D(x+2)$

$x = -2$ のとき、$-2 = -3C$ より $C = \frac{2}{3}$

$x = 1$ のとき、$1 = 3D$ より $D = \frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{x}{x^2 + x - 2} = \frac{2}{3(x+2)} + \frac{1}{3(x-1)}$

$\int \frac{x^3 + 2x^2 - 2}{x^2 + x - 2} dx = \int (x + 1 + \frac{2}{3(x+2)} + \frac{1}{3(x-1)}) dx$

$= \frac{x^2}{2} + x + \frac{2}{3} \ln|x+2| + \frac{1}{3} \ln|x-1| + C$

(3) $\frac{2x - 1}{x(x+1)^2}$ の積分

$\frac{2x - 1}{x(x+1)^2} = \frac{E}{x} + \frac{F}{x+1} + \frac{G}{(x+1)^2}$ とおく。

$2x - 1 = E(x+1)^2 + Fx(x+1) + Gx$

$x = 0$ のとき、$-1 = E$

$x = -1$ のとき、$-3 = -G$ より $G = 3$

$2x - 1 = - (x^2 + 2x + 1) + Fx(x+1) + 3x$

$2x - 1 = -x^2 - 2x - 1 + Fx^2 + Fx + 3x$

$0 = (F - 1)x^2 + (F + 1)x$

$F - 1 = 0$ より $F = 1$

したがって、

$\frac{2x - 1}{x(x+1)^2} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}$

$\int \frac{2x - 1}{x(x+1)^2} dx = - \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x+1} dx + 3 \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$

$= - \ln|x| + \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \ln|x-2| + C$

(2) $\frac{x^2}{2} + x + \frac{2}{3} \ln|x+2| + \frac{1}{3} \ln|x-1| + C$

(3) $- \ln|x| + \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + C$