$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$ を計算する。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、$\sin^{-1} x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin^{-1} x$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\sin^{-1} x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots$

したがって、

$\frac{x}{\sin^{-1} x} = \frac{x}{x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots} = \frac{1}{1 + \frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{40}x^4 + \cdots}$

ここで、$x \to 0$ のとき、$\frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{40}x^4 + \cdots \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{40}x^4 + \cdots} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

または、ロピタルの定理を使うこともできます。$\lim_{x \to 0} x = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} \sin^{-1} x = 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。

したがって、ロピタルの定理を適用できます。

$\frac{d}{dx} x = 1$

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} = \lim_{x \to 0} \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-0^2} = 1$

3. 最終的な答え

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